第三章数学证明 (Chapter 3: Proof) 学习笔记 (详细版 v2.3)

quiz note

1. 证明的基础 (Foundations of Proof)

1.1 什么是“证明 (Proof)”？—— 不止一种答案

在数学之外的领域，“证明”这个词有多种含义。理解它们的区别，能帮助我们更深刻地认识数学证明 (mathematical proof) 的独特性和严谨性。

数学证明：如同搭建乐高
- 定义: 数学证明是从一组公认的前提/假设 (premises/assumptions) 出发，通过严密的逻辑推导 (logical deduction)，得出一个确定为真的结论的过程。
- 生动的例子: 想象一下你在用乐高积木搭建一个模型。前提/假设就是那些形状规则、质量可靠的积木块，而逻辑推导就是那本官方拼搭说明书。只要你的积木没问题（假设为真），并且你严格按照说明书的每一步来拼（逻辑无误），那么最终搭出来的模型（结论）就必然和封面上的一模一样。这个结果是确定的 (certain)，不容置疑。
经验/科学证明：如同侦探破案
- 定义: 经验或科学证明是基于大量的证据 (evidence) 进行归纳，得出一个极有可能为真的结论。
- 生动的例子: 就像一个侦探，他找到了嫌疑人的指纹、作案动机、以及案发时不在场的伪证。所有证据都指向同一个人，侦探对此非常有信心，但这并不是100%的绝对真理。万一出现了一个颠覆性的新证据（比如一段显示真凶的监控录像），之前的结论就会被推翻。
- 文档中的例子: 哥德巴赫猜想 (Goldbach's Conjecture) 声称“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和”。这个猜想已经被计算机验证到了 4×1018 这么大的天文数字，但至今它仍然只是一个“猜想”。因为只要有一个反例没找到，它在数学上就没有被“证明”。
其他领域的“证明”
- 统计推断 (Statistical Inference): 就像天气预报说“明天有90%的概率下雨”。它告诉你这很可能 (likely) 发生，但并不给你一个确定的答案。
- 法律证明 (Legal Proof): 法庭上定罪的标准是“排除合理怀疑 (beyond reasonable doubt)”或“证据优势 (balance of probabilities)”。这是一种高度的采信标准，但并非追求宇宙的绝对真理。

1.2 如何学习证明？—— 成为“证明大师”的策略

讲义中提到，学习证明没有万无一失的“秘诀 (recipes)”，唯一的方法就是练习 (Practise)!!。不过，我们可以遵循一些非常有效的通用策略。

策略一：展开定义 (Expand the Definition)
- 这是所有证明的第一步。遇到任何数学术语（如“偶数”、“素数”、“可导”），立刻把它翻译成它最精确的数学语言。例如，看到“n是偶数”，你的脑海里就应该浮现出 “n=2k, where k is an integer”。
策略二：简化 (Simplify)
- 尽可能地化简你正在处理的表达式。一个简洁的表达式能让问题的核心逻辑更容易被看穿。
策略三：从后往前推 (Working Backwards)
- 很多时候，证明的灵感来自于从目标结论出发，反向思考“要得到这个结论，我需要什么？”。一步步往前推，直到与你的已知条件连接起来。
- 重要提示: 思考时可以倒推，但书写证明时必须按正向逻辑呈现。
策略四：在等式/不等式的一侧进行工作
- 这是一个非常具体的技巧。通常，不要同时操作不等式的两边，而是专注于处理其中一侧，通过代数变形，将它与另一侧关联起来。
- 文档中的例子: 在证明 10001−10011<100021 时，我们只对左侧进行通分和计算，得到 10010001，然后再将这个结果与右侧进行比较。
策略五：时刻牢记目标 (Keep the Aim in Mind)
- 在进行一长串复杂的推导时，很容易迷失方向。要不时地提醒自己：“我最终要证明的是什么？”这能帮助你做出正确的选择。

1.3 计算器在证明中的角色

计算器在严谨的数学证明中应谨慎使用，因为它存在精度限制 (precision limits) 且缺乏普适性 (lacks generality)。它无法进行符号运算，也无法给出普遍性的结论。

2. 证明的书写规范 (Writing Proofs)

证明一个命题包含两个阶段：发现 (discovering) 为什么它是对的，和 呈现 (presenting) 这些理由。后者与前者同样重要，需要大量练习。