1. Proof by Contradiction (反证法)
- 这是什么意思？
这是一种“釜底抽薪”的策略。为了证明一个命题是真的，你先假设 (assume) 它是假的 (false)。然后从这个错误的假设出发，通过逻辑推导，最终得出一个非常荒谬、自相矛盾的结论（比如
1=0）。这个矛盾说明，你一开始的假设肯定是错的，所以反过来，原命题就必须是真的。
- 生动的例子:
侦探破案。要证明“凶手是张三”。侦探可以先假设“凶手不是张三”。如果凶手不是张三，那么案发时他应该在A地，但我们有铁证他当时在B地。这就产生了矛盾 (contradiction)！所以，“凶手不是张三”这个假设不成立，因此凶手一定是张三。
- 我们学过的例子: 证明
√2 是无理数 (irrational number) 就是用的这个方法。
2. Proof by Contrapositive (逆否命题法)
- 这是什么意思？
这个方法只适用于“如果 A，那么 B” (If A, then B) 形式的命题。有时候直接从 A 推导 B 很困难，我们就可以换条路，去证明它的逆否命题 (contrapositive)：“如果 非B，那么 非A” (If not B, then not A)。因为原命题和它的逆否命题是逻辑等价的 (logically equivalent)，所以证明了逆否命题就等于证明了原命题。
- 生动的例子:
要证明：“如果外面在下雨 (A)，那么草地是湿的 (B)”。我们可以证明它的逆否命题：“如果草地不是湿的 (非B)，那么外面肯定没有在下雨 (非A)”。这两句话的意思是完全一样的。
- 我们学过的例子: 证明“如果 n2 是偶数，那么 n 是偶数”。我们就是通过证明它的逆否命题“如果 n 是奇数，那么 n2 是奇数”来完成的。
3. Proof by Exhaustion (Cases) (分情况穷举证明)
- 这是什么意思？
这是“分而治之”的策略。当你遇到的问题可以被清晰地分成有限个、能覆盖所有可能性的情况 (cases) 时，你就可以把问题拆开，对每一种情况单独进行证明。只要所有情况都被证明了，那么原命题就成立了。
- 生动的例子:
要证明“这个班里所有学生的期末成绩都及格了”。你可以把全班同学（比如30人）分成30个“情况”，然后逐一检查每个人的成绩单。如果30个人都及格了，你就证明了整个命题。
- 为什么这道题选它？
这道题的核心是表达式
$|x-5|$。这个绝对值 (absolute value) 的行为是分段的：
- 情况1: 当
$x \\ge 5$ 时，$|x-5| = x-5$
- 情况2: 当
$x < 5$ 时，$|x-5| = -(x-5)
这天然地把所有实数分成了两种情况。所以，处理这类问题最自然、最直接的方法就是分情况讨论。
4. Proof by Mathematical Induction (数学归纳法)
- 这是什么意思？
这是证明与整数 (integers) 相关的、可以像多米诺骨牌一样排列的命题的专属方法。
- 生动的例子:
想象一长排多米诺骨牌。要证明它们全都会倒下，你只需要做两件事：
- 第一步 (Base Case): 你亲手推倒第一块骨牌。
- 第二步 (Inductive Step): 你要证明一个规律：“如果任意一块骨牌倒了，它必然会把它的下一块也撞倒”。
只要这两点成立，我们就能确信，从第一块开始，所有的骨牌都会接二连三地倒下。
- 我们学过的例子: 证明
$1+2+...+n = n(n+1)/2$ 就是用的这个方法。