example论证有效性和永真式的关系

example分情况讨论 (proof by division into cases)

1. 基础概念 (Basic Concepts)

1.1 逻辑 (Logic)

逻辑是研究论证 (argument) 的科学，其核心是评估从一组前提 (premises) 得出结论 (conclusion) 的推理过程是否有效 (valid)。它为我们提供了一套形式化的语言和规则，用于精确地分析和构建论证。逻辑本身不关心前提陈述在现实世界中是否为真，它只关心：如果我们假设前提为真，那么结论是否也必然为真。这种对形式结构的关注使得逻辑成为数学、计算机科学、哲学和人工智能等领域的基石。

1.2 命题 (Propositions)

一个命题是一个具有明确真值的陈述句，这个真值要么是 真 (True)，要么是 假 (False)，不存在任何歧义。一个有效的命题必须是可判断的，并且不能同时为真又为假。

• 例子:
  • "2+2=4" (一个真命题)。
  • "2+2=5" (一个假命题)。
  • “地球是太阳系的第三颗行星” (一个真命题)。
  • “悉尼是澳大利亚的首都” (一个假命题，首都是堪培拉)。
• 反例 (非命题):
  • "x+y=0" (这是一个开放语句，其真假取决于变量x和y的值)。
  • "这很美" (这是一个主观价值判断，没有公认的真假标准)。
  • "你今天过得好吗？" (这是一个问题，没有真假之分)。
  • "快去关门！" (这是一个祈使句或命令，没有真假之分)。
  • "这句话是假的" (这是一个悖论，如果它为真，那么它就是假的；如果它为假，那么它就是真的，导致逻辑矛盾)。

1.3 逻辑运算符 (Logical Operators)

逻辑运算符是构建复合命题 (compound propositions) 的工具，它们将一个或多个命题组合起来，形成一个新的、更复杂的命题。

• 非 (not): ∼ (否定一个命题)
• 与 (and): ∧ (断言两个命题都为真)
• 或 (or): ∨ (断言至少一个命题为真)
• 异或 (exclusive or): ⊕ (断言有且仅有一个命题为真)
• 蕴含 (if...then): → (建立一个条件关系)
• 双条件 (if and only if): ↔ (建立一个等价关系)

2. 真值表 (Truth Tables) & 核心运算符

真值表是一种表格工具，它系统地列出了一个复合命题在所有可能的输入真值组合下的最终真值。对于n个变量，真值表将有 2n 行。