MATH1131/1141 代数 (Algebra) - 复数综合笔记 (扩充版)

这份笔记整合了复数基础、欧拉公式、棣莫弗定理、多项式求解以及相关应用，旨在为你提供一个全面、深入且结构化的复习框架。

这个模块是理解复数世界的第一步，核心是掌握其基本定义和运算法则。从历史角度看，复数的诞生并非一蹴而就，而是为了解决在实数系中无法解释的问题，例如一元三次方程的求根。

虚数单位 (Imaginary Unit): 我们“发明”了一个新数 i，其核心性质是 i2=−1。这个数的出现解决了实数范围内无解的方程（如 x2=−1），并最终构建了整个复数体系。它不是“虚幻”的，而是一种数学上的扩展，如同从有理数扩展到实数一样。
复数 (Complex Number): 一个复数的标准形式 (Cartesian Form) 是 z=a+bi，其中 a 和 b 都是实数。
- a 被称为实部 (Real Part)，记作 Re(z)。
- b 被称为虚部 (Imaginary Part)，记作 Im(z)。
- 注意： 虚部是实数 b，而不是 bi。例如，对于 z=3−4i，Re(z)=3，Im(z)=−4。若一个复数实部为0（如 z=2i），则称为纯虚数。
阿甘图 (Argand Diagram): 我们可以将复数在二维平面上可视化，这个平面以实部为横轴 (x-axis)，虚部为纵轴 (y-axis)。这建立了一座桥梁，使得复数 a+bi 可以与平面上的点 (a,b) 或从原点出发的向量 ⟨a,b⟩ 一一对应。这种几何直觉在理解复数运算时至关重要。

加减法 (Addition and Subtraction): 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
- 例: (3+5i)+(2+i)=(3+2)+(5+1)i=5+6i
- 几何意义: 这完全等同于向量的加减法。两个复数相加，相当于将它们的向量表示进行“头尾相接”的平行四边形法则。
乘法 (Multiplication): 像展开多项式一样使用分配律（FOIL方法），然后将所有出现的 i2 替换为 −1。
- 例: (3+i)(4+3i)=3⋅4+3⋅3i+i⋅4+i⋅3i=12+9i+4i+3i2=12+13i+3(−1)=9+13i
- 乘法的几何意义更为深刻，它涉及到旋转和缩放，这在极坐标形式中会看得更清楚。
i 的幂次规律 (Powers of i**):** i 的高次幂呈现一个四步循环规律：i,−1,−i,1。
- i1=i
- i2=−1
- i3=i2⋅i=−i
- i4=(i2)2=(−1)2=1
- i5=i4⋅i=i, ...
- 技巧： 要求 in，只需计算 n 除以 4 的余数 r，则 in=ir。
- 例: 计算 i2027。2027÷4=506 余 3。因此，i2027=i3=−i。

共轭复数 (Complex Conjugate): 对于 z=a+bi，其共轭 zˉ 就是将虚部符号反转，得到 zˉ=a−bi。在阿甘图上，z 和 zˉ 关于实数轴对称。
共轭的重要性质:
- z⋅zˉ=(a+bi)(a−bi)=a2+b2=∣z∣2。一个复数乘以其共轭，结果永远是一个非负实数。
- z+w=zˉ+wˉ
- zw=zˉwˉ
- z+zˉ=2Re(z)
- z−zˉ=2iIm(z)
除法 (Division): 核心技巧是分母实数化 (Realising the Denominator)。其原理是利用 z⋅zˉ 是实数的性质。在分子和分母上同时乘以分母的共轭，从而将分母中的虚部消除。
- 例: 计算 1−i1+4i
- 分母的共轭是 1+i。
- 1−i1+4i=(1−i)(1+i)(1+4i)(1+i)=12+121+i+4i+4i2=21+5i−4=2−3+5i=−23+25i
- 另一例: 计算 2+5i3−2i
- 2+5i3−2i=(2+5i)(2−5i)(3−2i)(2−5i)=22+526−15i−4i+10i2=4+256−19i−10=29−4−19i=−294−2919i

(对应 PPT Lec11: Euler and De Moivre's formulae)

这是表示复数的另一种极其强大的方式，它揭示了复数乘除法的几何本质。