1. 偏序集与哈斯图 (Posets and Hasse Diagrams)

• 核心关系: 在你遇到的题目中，偏序关系 ≲ 通常被定义为整除 | 或子集 ⊆。
• 四种特殊元素:
  • 最大元 (Greatest Element): 能被集合里所有其他数整除的数 (在整除关系中)；包含所有其他集合的集合 (在子集关系中)。最大元最多只有一个。
  • 最小元 (Least Element): 能整除集合里所有其他数的数；被所有其他集合包含的集合。最小元最多只有一个。
  • 极大元 (Maximal Element): 不能整除集合里任何其他数的数；不被任何其他集合包含的集合。可以有多个。
  • 极小元 (Minimal Element): 不能被集合里任何其他数整除的数；不包含任何其他集合的集合。可以有多个。
• 最大下界/最小上界:
  • 对于整除关系 |：两个数的最大下界 (GLB) 是指它们的最大公约数 (GCD)。
  • 要找到一个集合的“最大元”，通常是指找到所有元素的最小公倍数 (LCM)。
• 哈斯图的画线规则:
  • 只在“父子”之间画线，不在“祖孙”之间画线。
  • 判断方法：当且仅当 X 是 Y 的子集 (X ⊂ Y)，并且不存在任何中间集合 Z 使得 X ⊂ Z ⊂ Y 时，才在 X 和 Y 之间画线。

2. 数论与模运算 (Number Theory & Modular Arithmetic)

• 模乘法逆元 (x⁻¹):
  • 定义: x 的模 m 乘法逆元是一个整数 y，它满足 $xy \\equiv 1 \\pmod m$。
  • 存在条件: x 在模 m 下存在乘法逆元，当且仅当 gcd(x, m) = 1（即x和m互质）。
  • 寻找方法:
    1. 对于小数，可以通过尝试 mk + 1 是否能被 x 整除来找到。
    2. 对于更复杂的情况，使用扩展欧几里得算法 (Extended Euclidean Algorithm)。
    3. 在证明题中，可以通过代数变形（如 $p=3k+1$ 的例子）来构造出逆元。
• 线性同余方程 (ax ≡ b (mod m)):
  • 解的存在性: 该方程有解，当且仅当 gcd(a, m) 能够整除 b。
• Maple 格式:
  • 平方根 √x 写成 sqrt(x)。
  • (√3)/2 写成 sqrt(3) / 2。

3. 逻辑与证明 (Logic & Proofs)

• 量词 (Quantifiers):
  • ∀ (For All - 全称量词): 表示“对于所有...”，要求对指定范围内的每一个元素都成立。
  • ∃ (There Exists - 存在量词): 表示“存在一个...”，只要能找到至少一个满足条件的例子即可。
• 条件句的英文表达:
  • $A \\to B$ (如果A, 那么B): If A, then B / A only if B / A is sufficient for B / B is necessary for A
  • $B \\to A$ (如果B, 那么A): A if B / A whenever B
  • $A \\iff B$ (A当且仅当B): A iff B / A is equivalent to B / A is necessary and sufficient for B
• 证明技巧:
  • 分类讨论 (Proof by Cases): 将问题的所有可能性（如 p=3k+1 或 p=3k+2）全部覆盖，并逐一证明。
  • 反证法 (Proof by Contradiction): 假设结论不成立，然后推导出一个逻辑上的矛盾。常用于证明“不存在逆元”这类问题。
  • “当且仅当”的证明: 必须分两步，分别证明从左到右 (→) 和从右到左 (←) 两个方向。

4. 函数与关系 (Functions & Relations)

• 函数性质:
  • 单射 (Injective / one-to-one): 如果不同的输入 x 总能得到不同的输出 y。证明时，从 $f(x_1) = f(x_2)$ 出发，如果能推导出 $x_1 = x_2$，则为单射。
  • 满射 (Surjective / onto): 如果值域 (Codomain) 中的每一个y，都能在定义域 (Domain) 中找到至少一个x与之对应。证明时，尝试解方程 $f(x)=y$，看是否对所有y都有解。
• 关系性质:
  • 自反 (Reflexive): 每个点都有一个指向自己的环。
  • 对称 (Symmetric): 只要有从a到b的箭头，就必然有从b到a的箭头。
  • 传递 (Transitive): 如果有从a到b和从b到c的箭头，就必然有从a到c的直接箭头。
  • 反对称 (Antisymmetric): 不存在方向相反的“双向箭头”。（从a到b和从b到a同时成立的唯一可能是a=b）。