这份笔记将引导我们走过两个既独立又紧密相连的领域：
- 第一部分：逻辑基础。 我们将回顾并巩固逻辑学的核心工具，这不仅是数学的基础，更是我们进行严谨、清晰思考的基石。
- 第二部分：组合数学入门。 在掌握了逻辑思维后，我们将进入“计数”的奇妙世界。我们将学习如何系统性地、创造性地解决“有多少种可能性”的问题。
逻辑为我们提供了精确的语言和推理规则，而组合数学则是在这个基础上，解决关于选择和排列的智慧问题。
Part 1: 逻辑基础 (Fundamentals of Logic)
逻辑是研究推理有效性的学科，它帮助我们判断一个结论是否能从前提中合理地推导出来。它提供了一套形式化的语言和规则，让我们能够精确地分析、构建和评估论证。逻辑本身不关心前提陈述在现实世界中是否为真，它只关心：如果我们假设前提为真，那么结论是否也必然为真。这种对形式结构的关注使得逻辑成为数学、计算机科学（如电路设计、算法验证）、哲学和人工智能等领域的基石。
1.1 命题 (Propositions)
- 定义: 一个命题是一句可以明确判断其为 真 (True) 或 假 (False) 的陈述。一个有效的命题必须是可判断的，并且不能同时为真又为假。我们将这种最基本的命题称为原子命题 (atomic proposition)。
- 例子: "地球是圆的" (真命题)，"2 > 5" (假命题)，"水的化学式是H₂O" (真命题)。
- 关键: 必须有明确的、无歧义的真假值。像 "这幅画很美" (主观价值判断), "x + 1 = 3" (开放语句，真假取决于x), "你今天开心吗？" (问题), 或 "这句话是假的" (悖论) 都不是命题。
1.2 逻辑运算符与真值表 (Logical Operators and Truth Tables)
我们使用运算符将原子命题连接起来，构成复合命题 (compound propositions)，并通过真值表来确定其最终真假。对于n个变量，真值表将有 2n 行来穷举所有可能性。
| p |
q |
与 (AND) p∧q |
或 (OR) p∨q |
异或 (XOR) p⊕q |
蕴含 (Implies) p→q |
双条件 (Iff) p↔q |
| T |
T |
T |
T |
F |
T |
T |
| T |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
| F |
T |
F |
T |
T |
T |
F |
| F |
F |
F |
F |
F |
T |
T |
- 与 (AND, ∧**)**: 仅当两边都为真时，结果为真。
- 或 (OR, ∨**)**: 只要有一边为真，结果就为真。
- 非 (NOT, ∼**)**: 将真变为假，假变为真。
- 异或 (XOR, ⊕**): “同假异真”。当两边真假值不相同**时，结果为真。
- 蕴含 (Implication, →**)**: 只有在“前提为真，结论为假” (T → F) 时才为假。
- 双条件 (Biconditional, ↔**): 当两边真假值相同**时，结果为真。
学习中的困惑与解答 (Q&A)
问: 为什么在 p ∧ q 的真值表中，当 p 和 q 都为 F (假) 时，结果也是 F (假)，而不是 T (真)？
答: 这是个很好的问题！“与”(∧) 的规则是最严格的，可以想象成一个承诺：“我要去A地 并且 去B地”。只有当你两件事都做到了，这个承诺才算兑现 (True)。如果你两件事都没做 (F ∧ F)，那么你显然没有兑现承诺，所以结果是假的 (False)。我们容易将它和“同真同假则为真”的双条件(↔)运算符混淆。