这份笔记总结了你提供的PPT中的所有核心知识点,主要分为两大模块:集合论与函数 (Set Theory and Functions) 和 数论与关系 (Number Theory and Relations)。
第一部分: 集合论与函数 (Topic 1: Set Theory and Functions)
1.1 集合表示法 (Set Notation)
- 集合 (Set): 一个良好定义 (well-defined) 的、无序的 (unordered)、由不同对象 (distinct objects) 组成的集合。集合中的对象称为元素 (elements)。
- 集合表示:
- 列举法: 使用花括号
{}
将所有元素列出,例如 S={1,2,3}。
- 描述法: {x∈S∣P(x)},表示集合S中所有满足性质P的元素x。
- 重要数字集合:
- 自然数集 (Natural Numbers): N={0,1,2,3,...}
- 整数集 (Integers): Z={...,−2,−1,0,1,2,...}
- 正整数集 (Positive Integers): Z+={1,2,3,...}
- 有理数集 (Rational Numbers): Q
- 实数集 (Real Numbers): R
- 复数集 (Complex Numbers): C
- 元素关系:
- 属于 (is an element of): ∈
- 不属于 (is not an element of): ∈/
- 空集 (Empty Set): 不含任何元素的集合,记作 ∅ 或 {}。
- 基数 (Cardinality): 集合中元素的数量,记作 ∣S∣。例如, ∣{a,b,c}∣=3。
- 集合中的集合: 集合的元素也可以是集合,例如 S={1,2,{3,4}},此时 ∣S∣=3,且 {3,4}∈S,但 3∈/S。
1.2 子集与幂集 (Subsets and Power Sets)
- 子集 (Subset): 如果集合S中的每一个元素都是集合T的元素,则称S是T的子集,记作 S⊆T。
- 集合相等 (Set Equality): 当 S⊆T 且 T⊆S 时,S=T。
- 真子集 (Proper Subset): 如果 S⊆T 且 S=T,则S是T的真子集,记作 S⊂T。
- 证明方法:
- 证明 S⊆T: 证明对于任意一个元素 x∈S,都有 x∈T。
- 证明 S=T: 分别证明 S⊆T 和 T⊆S。
- 幂集 (Power Set): 一个集合S的所有子集构成的集合,记作 P(S)。
- 幂集的基数: 如果 ∣S∣=n,那么 ∣P(S)∣=2n。
1.3 维恩图与集合运算 (Venn Diagrams and Set Operations)
- 全集 (Universal Set): 包含所有讨论对象的集合,记作 U。
- 维恩图 (Venn Diagram): 直观表示集合关系的图形工具。
- 基本运算:
- 并集 (Union): A∪B={x∣x∈A or x∈B}。
- 交集 (Intersection): A∩B={x∣x∈A and x∈B}。
- 补集 (Complement): Ac={x∈U∣x∈/A}。
- 差集 (Set Difference): A−B={x∣x∈A and x∈/B}=A∩Bc。
- 对称差 (Symmetric Difference): A⊖B=(A∪B)−(A∩B)。